Płaszczyzna

Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny geometrii. Zobacz też: miejscowości o nazwie Płaszczyzna.

Dwie przecinające się płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.

Intuicja płaszczyzny wpajana jest człowiekowi kultury zachodniej od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru, powierzchni stołu, czy płaskiego pola rozciągających się "w nieskończoność".

W wielu innych geometriach, na przykład geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

[edytuj] Własności

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii absolutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów. Uwaga: niektóre z podanych własności zachodzą wyłącznie w przestrzeni trójwymiarowej.

• przez trzy niewspółliniowe punkty przestrzeni (tzn. nie leżące na jednej prostej) przechodzi tylko jedna płaszczyzna
  • przez daną prostą i punkt nie leżący na niej przechodzi tylko jedna płaszczyzna
  • przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi tylko jedna płaszczyzna
• prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie
• jeśli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to mają również drugi punkt wspólny
• płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów
• każdy punkt płaszczyzny należy do nieskończenie wielu prostych
• każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwa obszary, których częścią wspólną jest ta właśnie płaszczyzna;
  Obszary te nazywamy półprzestrzeniami – płaszczyzna jest brzegiem każdego z tych obszarów.
• każda prosta zawarta w płaszczyźnie dzieli ją na dwie części;
  Części te nazywane półpłaszczyznami. Dana prosta jest brzegiem każdej z dwu półpłaszczyzn.
• prosta w przestrzeni może:
  • nie mieć punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do płaszczyzny
  • mieć jeden punkt wspólny
  • być zawarta w tej płaszczyźnie

[edytuj] Płaszczyzna euklidesowa

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik lub XI aksjomat Euklidesa):

przez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, można poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,

to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

[edytuj] Opis w przestrzeni R³

R³ jest modelem dla geometrii euklidesowej i poniższy opis dotyczy oczywiście płaszczyzny euklidesowej.

[edytuj] Równanie ogólne

W przestrzeni euklidesowej R³ płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych równanie:

Ax + By + Cz + D = 0,

przy czym liczby A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zeru.

Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor [A, B, C] jest wektorem normalnym prostopadłym do tej płaszczyzny.

[edytuj] Równanie normalne

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:

αx + βy + γz + δ = 0.

Liczby α, β, γ interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Spełniają one równość:

α² + β² + γ² = 1.

Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:

α = A/N, β = B/N, γ = C/N, δ = D/N,

w których współczynnik normalizujący N odpowiada normie (długości) wektora [A, B, C]:

[edytuj] Równanie odcinkowe

Do opisu płaszczyzny można też użyć równania odcinkowego:

Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

Ma również istotną wadę: nie daje się w ten sposób przedstawić żadnej płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych (wówczas wszystkie mianowniki musiałyby być równe zeru, a = b = c = 0) ani też żadnej płaszczyzny równoległej do którejkolwiek osi (wówczas odpowiedniemu współczynnikowi lub parze współczynników należałoby przypisać wartość nieskończoną, ).

Przejście z postaci ogólnej lub normalnej do odcinkowej dają wzory:

a = − D / A = − δ / α

b = − D / B = − δ / β

c = − D / C = − δ / γ

[edytuj] Płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty

Ponieważ istnieje tylko jedna płaszczyzna w przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty, dlatego można jednoznacznie wyznaczyć tą płaszczyznę, czyli jeżeli płaszczyzna przechodzi przez trzy punkty: , i jest określona następującym równaniem:

lub:

[edytuj] Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu P o współrzędnych (x_P, y_P, z_P) od płaszczyzny m zadanej równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0 lub normalnym αx + βy + γz + δ = 0 przedstawia wzór:

[edytuj] Zobacz też

• geometria,
• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• półpłaszczyzna.