Funkcja Γ

Brak wersji przejrzanej

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Wykres funkcji gamma

Funkcja gamma — jedna z funkcji specjalnych, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

$\Gamma(z) = \int\limits_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części można pokazać, że:

$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z).$

Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.

Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:

$\Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow +\infty}{{n!n^z}\over{z(z+1)(z+2) \ldots (z+n)}}= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}$

Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):

$\frac{1}{\Gamma (z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\right]$

Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.

Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności.

[edytuj] Własności funkcji Gamma:

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)$

$\Gamma (z)\cdot \Gamma (z+ \frac{1}{2}) =\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2\cdot z\ -1}}\cdot \Gamma (2\cdot z)$

Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:

$\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z) =\frac{\pi }{\sin{\pi z}}$

$\Gamma (z+\frac{1}{2})\cdot \Gamma (\frac{1}{2}-z) =\frac{\pi }{\cos{\pi z}}$

Jeśli $- 1 < R e (z) < 1$ , to:

$\Gamma (z)=\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\sin{t}dt$

Jeśli $0 < R e (z) < 1$ , to:

$\Gamma (z)=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\cos{t}dt$

Wzór iloczynowy Gaussa:

$\Gamma (nz)=\frac{n^{nz}}{\sqrt{(2\pi)^{n-1}}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{n})\Gamma(z+\frac{2}{n})\ldots\Gamma(z+\frac{n-1}{n})$

Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:

$\Gamma (n)\ =\ (n-1)!$

$\Gamma (n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$

$\Gamma(n+1/p) = \Gamma(1/p) \frac{(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^n}$

gdzie $x (p)$ oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.

[edytuj] Wybrane wartości funkcji Gamma

$\begin{array}{lll} \Gamma(-2) &- & \\ \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363271801 \\ \Gamma(-1) &- & \\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.544907702 \\ \Gamma(0) &- & \\ \Gamma(1/7) & &\approx 6.548062940 \\ \Gamma(1/6) & &\approx 5.566316002 \\ \Gamma(1/5) & &\approx 4.590843712 \\ \Gamma(1/4) & &\approx 3.625609908 \\ \Gamma(1/3) & &\approx 2.678938535 \\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772453851 \\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\ \Gamma(x_{min}) & &= 0.885603194 \\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886226925 \\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329340388 \\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323350970 \\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\ \end{array}$

$x m i n$ jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0, $x_{min}\approx 1.461632145$ .

Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum $( - 1) n / n!$ ).

[edytuj] Linki zewnętrzne

Wykres modułu z funkcji Gamma w zespolonych

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%93”

Kategorie: Funkcje matematyczne • Analiza zespolona